Nació en Arequipa el 20 de febrero de 1875, hijo del ingeniero Augusto Tamayo Chocano y de Guillermina Möller Sojo Vallejo.  Hizo estudios primarios en el Colegio Independencia Americana de Arequipa y secundarios en las minas donde su padre era ingeniero, especialmente en la mina Cuchilladas de Cailloma. Entre los laboratorios de ensayes y los socavones de las minas que recorre acompañando a su padre, Augusto E. Tamayo Möller desde los 7 hasta los 15 años se educa y se familiariza con los conceptos y prácticas de la ingeniería de minas y caminos.

Augusto E. Tamayo realiza estudios superiores en la Escuela de Ingenieros de Lima, graduándose en 1899 con el título de agrimensor. A los 22 años ingresa a la selva como segundo ingeniero de los trabajos de la Vía Central que llevaba a cabo el Gobierno de Nicolás de Piérola.

En 1907 es nombrado Jefe General de Comunicaciones al Oriente, bajo el Gobierno de José Pardo. Como tal se encarga de la construcción del puente de acero de Utcuyacu y los puentes colgantes de Capelo y San Carlos en la zona de La Merced. Es también encargado de supervisar los trabajos que viene realizando la empresa alemana Telefunken en el Ucayali con el objeto de instalar la radiotelegrafía en el Perú. Tamayo se dedica a partir de 1910 a desarrollar el proyecto que permita establecer la comunicación radiotelegráfica –o telegrafía inalámbrica– entre Lima e Iquitos.

Tamayo propone al Gobierno la construcción de dos torres, una en Lima y una en Iquitos, para lograr la comunicación inalámbrica a distancia entre ambas ciudades. Tras un año de ardua construcción de las dos torres –la de Lima instalada en el cerro San Cristóbal y la de Iquitos en la zona de Itaya– y de instalados los equipos de transmisión y recepción en ambas localidades, la comunicación se alcanza el 16 de junio de 1912, con la presencia del Presidente Augusto B. Leguía y sus Ministros en la caseta de transmisión.

El acontecimiento fue comentado no solo por la prensa del país sino en muchos de los diarios del continente. La fecha marca el inicio de las telecomunicaciones en el Perú y se convierte en la piedra angular del desarrollo que conducirá más tarde a la transmisión radial y televisiva del país. Lima se comunicaría poco tiempo después no solo con Iquitos sino con Manaos, Belén, Río de Janeiro y Buenos Aires.

Después del éxito de la comunicación con Iquitos, el ingeniero Tamayo construyó las estaciones de Ilo en Moquegua, de Cachendo en Arequipa, de Buenos Aires en La Libertad y en la Villa de Eten en Lambayeque. A partir de este enorme esfuerzo de construcción de estaciones y de equipamiento técnico, se constituyó el Servicio Radiotelegráfico del Perú con el que el país quedaba incorporado a la modernidad del mundo de entonces. Como reconocimiento de su importante logro, la Municipalidad de Lima le entregó al Ingeniero Tamayo una Medalla de Oro y la Sociedad de Ingenieros le ofreció un tributo especial. La empresa alemana Telefunken resaltó la obra de Tamayo como uno de los mayores acontecimientos mundiales en el área de las telecomunicaciones y le ofreció un alto cargo en su Central de Alemania, que Tamayo rehusó por servir a su país. Augusto Tamayo Möller fue después nombrado Director General de Correos y Telégrafos durante el Gobierno del Presidente Billinghurst y posteriormente, en 1919, ocupó el cargo de Jefe General del Servicio Radiotelegráfico del Perú.

Numerosos homenajes se le han rendido por autores tales como Francisco Alayza Paz Soldán, José Balta, Jorge Vargas Escalante, César Miró y su obra ha sido reconocida como la pionera de las telecomunicaciones en el libro Historia de la Radio en el Perú de Alonso Alegría. Murió en Lima el 1 de febrero de 1936.